מלמדת אתכם מכניקה

#4- חוקי קפלר, תורת היחסות

2 גופים, אפילו אני והמחשב, מפעילים כוח אפילו בלי מגע. על פי איזה עיקרון זה פועל? החוק השלישי של ניוטון מודא שגוף אחד שמפעיל כוח על השני גם מקבל את הכוח, והמרחק נחשב למרחק בין 2 מרכזי הגופים.
|F|=Gm₁m₂/r²
כאשר G=6.67×10⁻¹¹
זה מאוד דומה לחוק קולון, כאשר יש k וq.

ומה עכשיו זמן מחזור של הירח שמסתו m₂ שמסתובב סביב פלנטה m₁ בהנחה שהמסלול מעגלי?
אם מסתכלים על שקול הכוחות ΣF=ma
נצמצם ונציב ω²r בתור a ונקבל ω²Gm₁/r₃
T=τ/ω=τ√(r³/Gm₁)

והחוק השלישי של קפלר אומר לנו את הדבר הבא: Ta²/Tb²=ra³/rb³. יש הקשר בין הזמן מחזור והרדיוס.

העבודה שהכבידה עושה היא הפרש האנרגיה הפוטנציאלית, כלומר שניתן לעשות אינטגרל לכוח ונקבל שהפרד האנרגיה הפוטנציאלית היא-Gm₁m₂(1/b-1/a), ואם נגדיר שהאנרגיה הפוטנציאלית באינסוף היא 0 נוכל להגדיר שהאנרגיה הפוטנציאלית היא Gm₁m₂(1/r).

חללית ממריאה מפני כדו"א. מה צריכה להיות המהירות ההתחלתית על מנת שתגיע למרחק אינסופי?
נקבל שהאנרגיה הפוטנציאלית שווה לאנרגיה קינטית, כי ככה באינסוף נוכל לאפס את שניהם.
וכך נקבל v₀=√(2GMₑ/Rₑ), נוכל פשוט להציב את הנתונים של כדו"א ולקבל את מהירות המילוט לכאן!

התנע הזוויתי של לוויין זה פשוט J⃗=r⃗×p⃗=r⃗×(mv⃗)
ו
|τ|=|r||F|sinθ
מה נוכל להגיד על כבידה? שהזווית בין r⃗ לבין F⃗ תמיד תהיה אפס, ולכן אין מומנט סיבובי!

במקרה של מעגל, המהירות תמיד ניצבת לרדיוס. במקרה של אליפסה, המהירות ניצבת לרדיוס ב2 נקודות הקיצון. זה מאוד מאוד חשוב כי הזווית חשובה לקינמטיקה זוויתית.

אם אנחנו מדברים על כוכבי לכת ולווינים, הם נעים בתנועה אליפטית. מה משוואת התנועה?
x²/a²+y²/b²=1
כאשר a הוא חצי ציר ראשי וb הוא חצי ציר משני. e הוא מידת הפסיחות, היא אומרת כמה היא קרובה לעיגול והיא √(1-b²/a²) ובמעגל אין פסיחות כי היא עצמה ולכן e=0.
בואו נדבר על החוק השני של קפלר. החוק הראשון של קפלר זה שמסלולי כוכבי הלכת הם אליפטיים, והחוק השני של קפלר אומר שהרדיוס וקטור מכסה שטחים זהים בזמנים זהים.

עוד משהו מיוחד עם התנע הזוויתי זה שהוא שווה בכל נקודה באליפסה. כשהמהירות קטנה המרחק גדל וכשהמרחק גדל המהירות קטנה.

אז אני מדברת על תורת היחסות. יש לנו 2 הנחות יסוד:
- חוקי הפיזיקה הם אותו הדבר לכל מערכת ייחוס אינרציאלית
- מהירות האור בריק זהה בכל מערכות הייחוס

אז טרנספורמציית גליליי היא x'=x-vt וt'=t.

בכל מקרה מהירות האור בריק זה בערך 3×10⁸ m/s
β=v/c, γ=1/√(1-β²)

אז עכשיו טרנספורמצית לורנץ. שימו לב שβ זה בלי יחידות! X'=γ(x-vt)=γ(x-βct),
t'=γ(t-vx/c²x)=γ(t-βx/c)

והטרנספורמציה ההפוכה היא
x=γ(x'+vt')
t=γ(t'+v²x'/c)

בואו בעצם נסתכל על גמא. אם נרצה לשרטט את γ בתור פונקציה של v, יש לנו את הדבר הזה: אסימפטוטה בv=c.

נגיד שבמערכת S קוראים 2 מאורעות, בעת ובעונה 1. ובמערכת S' מאורע 2 מתרחש לפני עונה 1. במערכת S נגיד הדלקנו קומקום. Δx=γ(Δx'+vΔt') וΔt=γ(Δt'-v/c²Δx').
נציב למערכת S' שΔx'=0, ונקבל שפרק הזמן בין המאורעות בין המערכת S' לבין במערכת S גדול. קוראים לזה time delay.

מגדירים זמן עצמי כהפרש הזמנים בין המאורעות במע' היחוס בה הם התרחשו באותו מיקום.