מלמדת אתכם מכניקה

#3- תנועה הרמונית, גוף קשיח

אם בעצם נסתכל על הכוח האלסטי של הקפיץ f=-kΔx כאשר f הוא הכוח שהקפיץ מפעיל וΔx הוא השינוי. אנחנו מכירים קפיץ שהוא רפוי, נגיד. וכשהוא מתוח, אז בעצם יש לי את הדבר הבא: אם אנחנו בעצם נסתכל על החוק השני של ניוטון בעצם יש לי -kΔx=maₓ
שזה אומר -kx(t)=md²x/dt²
אנחנו בעצם מקבלים משוואה דיפרנציאלית מסדר שני. -k/mx(t)=d²x/dt²
ומה הפתרון של המשוואה הזאת?
x(t)=Asinωt
x'(t)=Aωcosωt
x"(t)=-Aω²sinωt

ויש עוד פתרון! הפתרון השני:
x(t)=Acosωt
x'(t)=-Aωsinωt
x"(t)=-Aω²cosωt

בעצם הצירוף הלינארי שלהם הם כל הפתרונות.
x(t)=Asinωt+Bcosωt
כאשר ω²=k/m.

קוביה שמסתה 9 ק"ג מחובגת לקפיץ עם קבוע 900 ניוטון למטר.
מותחים את הקפיץ ב0.3 מ' ומשחררים.
חשבו את המיקום והמהירות כפונקציה של הזמן וחשבו מה קורה בזמן t=1s לאחר שיחרור הגוף.
ω=√k/m=√900/9=10rad/s
תנאי ההתחלה: x(0)=0.3m
v(0)=0
אם נציב x לפתרון הכללי נקבל שהsin מתאפס ויצא x(0)=B=0.3
וכשנסתכל על v יוצא שv(0)=Aω=0
=>A=0
x(t)=0.3cosωt
x(1)=0.3cos10
שיוצא... טוב תציבו למחשבון לבד! רק תזכרו לשים רדיאנים
v(t)=-0.3ωsinωt
ופשוט תציבו.

בואו נדבר רגע על תנאי התחלה אחרים. אם x(0)=0 וv(0) לא מתאפס זה יאפס את הקוסינוס.

ומה קורה עבור תנאי התחלה שבו גם המהירות וגם המיקום שונה מ0?
תזכרו זאת: x(0)=B
v(0)=Aω => A=v/ω

בשיקולי אנרגיה אנחנו מדברים כך שהאנרגיה הסופית שווה לאנרגיה ההתחלתית.
½mv₀²+½kx₀²=½kxₘₐₓ²
m/kv₀²+x₀²=xₘₐₓ²
מה קיבלנו? שxₘₐₓ=A

כאשר אנחנו מדברים על הקפיץ הוא לא חייב להיות סתם סינוס או סתם קוסינוס. יכול להיות לו מופע- כלומר הזזה.
ωt₀+τ+φ=ωt₁+φ
τ=ω(t₁-t₀)
והפרש הt הוא בעצם זמן המחזור, T.
יצא לנו ש T=τ/ω.

עכשיו נעלה רמה. במקום מערכת שזזה בצדדים היא זזה למעלה. מסה m מחוברת ל2 קפיצים שאורך רפוי של כל 1 מהם שווה וקבוע הקפיץ של כל 1 מהם הוא k. במצב שיווי המשקל אורך של כל קפיץ הוא d. מושכים את המסה בכיוון ניצב לכיוון חיבור הקפיצים מרחק y.
התארכות הקפיצים היא √(d²+y²) פחות האורך הרפוי.
יש לי פה זוויות וכוחות. מפרקים את הכוחות לרכיבים שלהם.
בציר הx סכום הכוחות הוא 0 אז הוא נע רק בכיוון הy.
שקול הכוחות בy יוצרת תנודה.

עכשיו נעבור רגע תנועה הרמונית מרוסנת. מה זה? זה אומר שיש איזהשהו כוח שעוצר אותו. ולכן אם נסתכל רגע לדוגמא על מערכת קפיץ מסה הנמצאת בתוך מכל מים המים מפעילים כוח גרר על הגוף. F=-bv.
m=0.5kg
k=50N/m
b=5kg/s
מה מיקום של הגוף כפונקציה של הזמן?
-kx-bv=ma
-kx-bx'=mx"
ננחש פתרון למשוואה: Ae^λt.
אם נציב את זה למשוואה נוכל לצמצם ממנה את A וגם את e^λt ונקבל mλ²+bλ+k=0 שהיא משוואה ריבועית! הדיסקרימיננטה(הדבר מתחת לשורש של נוסחת השורשים) של המשוואה יוצרת משפחה של 3 פתרונות למשוואה
Δ=0 => ריסון קריטי
Δ<0 => ריסון חלש
Δ>0 => ריסון חזק
אם נסתכל בנתונים שהיה לנו לפני כן נקבל שהדיסקרימיננטה קטנה מ0 ופתרון המשוואה הריבועית היא מרוכבת והריסון חלש.
אבל לא משנה מה הפתרון אנחנו רוצים פונקציה ממשית. לזה אנחנו נשים את זהות אוילר- e^iφ=cosφ+isinφ. ונמיר את המעריכיות המרוכבות למכפלה של קוסינוס וסינוס. להוסיף הסבר איך?

ושוב נדבר על קינמטיקה קווית. וזוויתית. אנו יודעים שv=dr/dt. אם אני רוצה את התאוצה היא הנגזרת השניה d²r/dt²=dv/dt
אבל יש גם תנועה זוויתית.
ω=dθ/dt
α=d²θ/dt²=dω/dt
החוק השני של ניוטון, לפי הרעיון של התנע p=mv, החוק השני של ניוטון מגדיר F=dp/dt. כל עוד המסה קבועה.
התנע הזוויתי מגדיר J=r×p
הגדלים J, r, וp הם וקטורים! פשוט לא לכולם יש כוח להקליד את ה ⃗ כל פעם
|J|=|r||p|sinθ.

הנה משהו חשוב- מומנט ההתמדה. אם נדבר על גוף מאוד מורכב- תפוח אדמה. יש לו צורה כזאת פחות ברורה. אני לא יכולה לעמד אותה. כשמדובר במומנט ההתמדה מדובר לרוב בגופים קשיחים שהם מורכבים ממספר מסות בודדות.
I=Σmᵢrᵢ
מה קורה כשאנחנו מסתכלים על תפוח אדמה שמורכב מהמון כאלה? אנחנו עושים אינטגרל.
I=∫r²dm
נגיד ספינר הוא כזה. או סביבון שיותר מוכר, מה שכולנו סובבנו בתור ילדים. אם יש לנו סתם צורה יש לנו ציר סיבוב ובעצם אני אוספת את כל הנקודות.
J=Iω.