In dieser verhältnismäßig kurzen Abhandlung möchte ich mit Ihnen über eine der wohl faszinierendsten Formen sprechen, die in der Natur zu finden sind:
Katenoiden.
Oder zu deutsch:
Kettenlinien.
Die Form einer hängenden Kette mathematisch zu erfass...
Falls Sie sich den Ausdruck auf der vorherigen Seite angeschaut haben und dabei feststellten, dass Sie eigentlich keine Ahnung haben warum sich der Kerl so freut - wie soll ich denn die Höhe nach der Masse integrieren? Das bringt uns doch überhaupt nicht weiter! - dann halten Sie sich fest.Ein Glück, dass wir einige Größen im Voraus definiert hatten. Denn überlegen Sie doch mal, als was die Masse m physikalisch definiert ist. Die Masse ist nichts anderes als die Dichte des Materials (die wir als konstant annehmen) multipliziert mit seinem Volumen. Oder noch treffender: Das Produkt aus der Dichte, der Querschnittsfläche und der Länge eines Stücks Seil.
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Da wir ja ein infinitesimal kleines (dt.: unendlich kleines) Stückchen Masse mit dm meinten (Mir ist durchaus bewusst, dass das nur Physiker-Slang ist; aber es ist so schön Vorzustellen) können wir ja hier die Konstanten "rho" und A vorschieben und uns also auf ein sehr kleines Stück Seillänge beziehen. Wenn wir das jetzt wieder in unser Integral einsetzen kommt das Folgende dabei heraus:
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Naja, ok... Nach einem Stückchen (krummer!) Bogenlänge zu integrieren geht auch noch nicht ganz. Aber jetzt nicht Aufgeben! Ich habe da eine super Idee:
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Die erste Zeile - das werden Sie wiedererkennen - folgt aus dem Satz des Pythagoras. Wenn man dann quadriert, umstellt, wieder die Wurzel zieht und dann mit dx multipliziert erhält man den letzten Ausdruck. Ein kleines Stück Bogen ist also nichts anderes als die Wurzel aus eins plus der Ableitung von y nach x zum Quadrat mal ein stück x. "YEAH"
