GEOMETRİ:Öğretisi ve Doğruluğu Üzerine

GEOMETRİ VE TARİHİ-4

  Antik Yunanlı bir matematikçi olan (İskenderiyeli) Öklid(Euclid)(MÖ 300) ise belki de geometriye en çok katkı
sağlayan bilim insanıdır,zaten geometri ile en çok özdeşleşen bilim insanı da
Öklid'dir.Öklid, geometri ile ilgili bir eserde ilk defa aksiyomatik yöntemle
aktarım yapan kişidir.Bu da onun matematiksel titizliğini göstermektedir. Öklid'in yaklaşık 2000 yıldır okullarda okutulmuş(18-19. Yüzyıla kadar)(Hala
da bir kısım okullarda okutulmakta), bilim çevrelerince gelmiş geçmiş en önemli bilimsel kitaplardan biri olarak görülen kitabı; 'Elements' (Öğeler),su götürmez biçimde Öklid'in başyapıtıdır. 1908 yılında Ögeler'in temel İngilizce çevirisini yapan Thomas Heath,Öğeler için:"Tüm zamanların en iyi matematik kitabı olarak kalmayı başaracak harika bir kitap..."demiştir.Öğeler (Στοιχεία
Stoikheîa) kitabını inceleyecek olursak,kitap;13 bölümden(kitaptan) oluşan,aslında bir tez olan,matbaanın icadından sonra en çok basılan ikinci kitap olan,Öklid geometrisini,temel sayılar teorisini ve karşılaştırılamaz çizgileri ele alan bir yazıdır.

  Biraz da Öklid'in Ögeler kitabını yazarken ilham aldığı(fikir babaları) kişilerden bahsetmek istiyorum;1.(I) ve 2.(II) kitabında (İyonyal)Pisagor'dan, 3.(III)kitabında (Sakız Adalı) Hipokrat'tan,5.(V) ve 6.(VI) kitabında (Knidoslu)Evdoksus'tan,10.(X) kitabında (Atinalı) Theaetetus'tan ve genel olarak 4.(IV),6.(VI),11.(XI) ve 12.(XII) kitaplarnındaysa çağdaşı matematiçilerden,Pisagor'dan ve Pisagorculardan(Ayrıca Atina Okulu'ndan) esinlenmiştir.Şunu da söyleyeyim;bazı kaynaklarda Öğeler'in
14.(XIV) ve 15.(XV) kitapları da yer alır amma velakin bu kitaplar sahte,bilim
çevrelerince 'uydurma'dır,bunun sebebiyse bu kitapları Öklid'in yazdığına dair kesin bir delil bulunmaması ve o dönemlerde yazılan yazıyı başka birine ithaf etmenin yaygın olmasıdır.Uzmanlara göre 14.kitabı Hypsicles,Apollonius'un bir
tezine dayanarak yazmış, 15.kitabı ise muhtemelen (Miletli)Isidore yazmıştır. Öklid,geçmiş geometri birikimiyle kendi varsayım ve teoremlerini
birleştirip harika bir başyapıt oluşturmuştur.Kitapta geometri hakkında birçok farklı konu*¹ ve postulat**¹ bulunmaktadır. Farkındaysanız kitap hakkında iki
tane ilginç ifade kullandım; bunlardan ilki kitabın aksiyomatik**² yöntemle
yazıldığı,ikincisiyse kitapta postulatlar bulunduğu ibareleriydi.Bu iki ibareyi
size aktarmamın nedeni aslında kitabın tam bir ders kitabı gibi yazıldığını
göstermek,şöyle ki;Öklid bir konuya başlıyor,onunla ilgili postulatları ve genel tanımları aktarıyor,en son ise yaşadığı devrin geometri birikimini kendi fikirleriyle harmanlıyor,böylece tam bir ders kitabı gibi yazılmış bu kitabın içerdigi önerme ve postulatlarn hala bazı konularda öğreniyoruz,yani bu kitabı hala bir ders kitabı olarak kullanıyoruz.Bu konunun üstünde çok durduğumu biliyorum ama gerçekten bir kitabın 2000-2300 yıldır temel bir kaynak olarak kullanılması inanılmaz. Öğeler hakkında daha birçok șey konuşabiliriz ama ben genel olarak ögeler kitabını(tezini) Antik Yunanlı bir filozof olan (Atinalı Proklus'un (Proclus)(MS 400) şu tespit içeren sözleriyle özetlemeyi yeğliyorum: "Öğeleri bir araya getiren,Evdoksus'un teoremlerinin çoğunu toplayan,Theaetetus'un birçoğunu mükemmelleştiren ve aynı zamanda selefleri tarafindan sadece biraz gevşek bir yekilde kantlanan șeyleri onarılamaz bir gösterime getiren Öklid."

  Buraya geldiğimizde Öklid'in Öğeler yardımyla aktardığı bu prensip ve varsayımları içeren bir geometri türü çıkıyor karşımıza "Öklid Geometrisi". Belki şu an biraz kafanız karışmış olabilir çünkü erken geometri vardı,șu an Öklid geometrisinden bahsediyoruz ve ileride Öklid dışı geometriden bahsedeceğiz.Kafanızın karışmasına neden olan şey her insanın kafasında oluşan 'mutlak geometri' anlayışı.Bu anlayışa göre tek bir geometri varmış gibi bir algı haiz oluyor kafamızda.Yani tek bir geometri yok,unutmayın ki geometri "yer ölçümü'" demekti ve biz yeri birçok formülle ölçebiliyoruz yani
birçok geometri türetiyor veya kullanabiliyoruz.Hatırlarsanız Mısırlılar dairenin alanını hesaplamak için "[R-(R/9)]²" şeklinde bir geometri yani yer ölçümü geliştirdiler fakat biz bugün dairenin alanını hesaplamak için "π.r²" geometrisini yani yer ölçümünü kullanıyoruz çünkü Mısırlılar'ın daire alanı geometrisiyle bizim bugün kullandığımız geometri arasında yaklaşık %0,65'lik bir fark bulunmakta.Buradan şu sonuca varıyoruz;geometri bir yöntemdir,eğer
bir geometriden daha doğru sonuç bulan bir geometri geliştirilirse o kullanıma geçer,işte bu yüzden tek bir geometri ya da mutlak geometri yoktur.Konumuza geri dönecek olursak,Öklid geometrisi asıl olarak bir matematiksel sistemdir.Bu sistemde bazı postulat-aksiyomlar ve 'ortak kavramlar' lar vardır.Öklid'in temel
olarak 5 tane postulatı,5 tane de ortak kavramı vardır.Bunları tek tekm oi gila
incelemeyeceğim fakat Öklid'in 5.postulatı olan ve ehemmiyet barındıran Paralel Postulatı'ndan bahsetmeliyim.Bu postulat şunu der;iki düz çizgiye düşen düz bir çizgi,aynı taraftaki iç açıları iki dik açıdan daha az yaparsa,iki düz çizgi,süresiz olarak üretilirse,açılarn iki dik açıdan daha az olduğu tarafta buluşur.(kavramlar için 8.bölüme göz atınız.)Şimdi bu size biraz karmaşık gelmiş olabilir,müsaadenizle size bu postulatı basit bir biçimde açıklayayım;burada ilk şuna bakalım, 'dik açıdan az' ibaresi bize bir şeyin dar açılı olduğunu ifade eder,yani tamamlanmamış (iki köşeli) bir üçgen gibi olan şeklin her iki açısı da dar açı,işte bu açıyı oluşturan çizgileri sonsuza kadar uzatırsak bunlar
elbet bir yerde kesişmek zorundadır (daha iyi kavrayabilme açısından notlara bakmanızı tavsiye ederim).

  19.yüzyıla gelindiğinde bu postulata karşı fikirler ortaya çıktı ve böylece "Öklid Dışı Geometri" doğdu fakat bunu şu an işlemeyeceğiz.Şu bilgiyi de aktarayım;Öklid geometrisi en başta 'düzlem geometrisi'yle başlar, üç boyutun katı geometrisi' yle devam eder.Biliyorum biraz uzattım ama Öklid ve Öğeler kitabıyla ilgili şunu da söylemem lazım;Öklid her zaman geometriyle sayısal niceliği ayrı tutmuştur,bunu en belirgin şekilde Öklid'in Öğeler kitabında açı kavramıyla ilgili yazdığı kısımlarda
görüyoruz,Öklid hiçbir zaman açılara sayısal bir nicelik(sayı) isnat etmiyor, açı ile ilgili konuşurken hep dik açıyı (90°) referans alıyor ve dar açıyı ifade etmek için 'dik açıdan az',geniş açıyı ifade etmek için 'dik açıdan fazla' ibarelerini kullanıyor.Yani Öklid için cebir ve aritmetik başka bir kefede, geometriyse başka bir kefededir.Öklid'e göre sayılarla geometrinin bir bağlantısı yoktur.Geometri ile ilgili bu yolculuğumuzda namıdiğer "Geometrinin Babası"na veda ederek devam ediyoruz.