Do trong mạch có điện trở R, nên trong thời gian dt phần năng lượng toả nhiệt trên điện trở Ri^2dt bằng độ giảm năng lượng điện từ -dE của mạch. Theo định luật bảo toàn và chuyển hoá năng lượng, ta có:
-dE=ri^2dt thay E= q^2/2c +Li^2 /2 vào ta có -d(q^2/2c +Li^2 /2 )=ri^2dt (1-1)
Chia cả hai vế của phương trình (1-11) cho dt, sau đó lấy đạo hàm theo thời gian và thay dq/dt=i
q/c +Ldi/dt =-Ri(1-2) Lấy đạo hàm cả hai vế của (1-2) theo thời gian và thay dq/dt = i, ta thu được:
d^2i/dt^2 +Rdi/Lbt +Ω^2oi=0
đặt R/L=2B 1/Lc=Ωo^2ta thu được phương trình: d^2i/dt^2 +2Bdi/dt + Ωo^2i=0(1-3)
Đó là phương trình vi phân cấp hai thuần nhất có hệ số không đổi. Với điều kiện hệ số tắt đủ nhỏ sao cho Ωo>B thì nghiệm tổng quát của phương trình (1-3)co dang i=Ioe^(-Bt)cos(Ωt+ϕ.) trong đó Io,.là hằng số tích phân phụ thuộc vào điều kiện ban đầu, còn Ω là tần số góc của dao động điên từ tắt dần và có giá trị: Ω=C(1/lc -C(R/2l)^2) <Ωo Chu kỳ của dao động điện từ tắt dần: T=2r/Ω =2r/C(Ωo^2 -B^2)