Phương pháp vi tích phân là một phương pháp khá hiệu quả trong việc giải các bài tập vật lý. Tuy nhiên đây cũng là một phương pháp khó nắm bắt. Chúng ta sẽ cùng nhau trao đổi thêm về phương pháp này trong topic này.
Chúng ta sẽ mở đầu bằng ví dụ đơn giản sau:
VD1 :
Tìm moment quán tính của một hình tròn đồng chất đối với trục vuông góc đi qua tâm.
Lời giải:
Xét một diện tích giới hạn bởi hình tròn bán kính x và x+dx ( với dx vô cùng bé ).
Diện tích của nó là : dS=pi.(x+dx)^2-pi.x^2=pi.2x.dx ( dx2 có thể bỏ qua ).
Khối lượng của nó là: dm=dS/S⋅m=(2.m/R2).xdx.
Moment quán tính của nó: dI=dm⋅x2=(2m/R2)x3=f(x)
Moment quán tính của hình tròn đồng chất: I=∫0Rf(x)dx=m.R^2/2
Cách 2:
Ta chia hình tròn thành các vật nhỏ, cách tâm một khoảng r(r-dr), tạo với trục x một góc θ(θ-dθ)
Từ đó, tính dm là một hàm đơn giản của θ,r
Lấy tích phân 2 lớp, cho θ chạy từ 0 đến 2π còn r chạy từ 0 đến R.
VD:
Mình ra thêm một đề đơn giản như sau cho các bạn: một vật chuyển động với vận tốc ban đầu bằng 0, gia tốc biến đổi theo quy luật: a=0,1.t (m/s2). Ở đây t là thời gian kể từ lúc bắt đầu chuyển động. Hãy xác định quãng đường mà vật đó chuyển động sau nửa phút.
Đáp số: 450m.
Giải:
a=dvdt⇒dv=adt⇒v=∫adt=kt22+C
Từ điều kiện ban đầu v(0)=0⇒v=kt22
ds=vdt⇒s=∫030kt22=kt36|030
Với k=0.1 ta có s=450m
VD2:
Tìm moment quán tính của hình cầu đồng chất khối lượng m, bán kính R đối với trục đi qua tâm.
Giải:
Xét một vỏ cầu có bán kính là r. Diện tích một đới cầu cách tâm khoảng x là dS=2πrdx. Nếu vỏ cầu có mật độ khối lượng mặt là σ thì khối lượng của đới sẽ là dm=σ⋅dS=σ2πrdx.
Moment quán tính của lớp này đối với trục đi qua tâm và vuông góc với đới cầu sẽ là dI1=(r2-x2)dm=σ2πr(r2-x2)dx.
Vậy moment quán tính của cả vỏ cầu là I1=∫dI1=∫σ⋅dS=∫-rrσ2πr(r2-x2)dx=83σπr4
Từ đây ta có moment quán tính của một vỏ cầu bán kính r, khối lượng m đối với trục đi qua tâm của nó là I=23mr2 (do m=4πσr2).
Và từ đây ta dễ dàng tính ra được moment quán tính của quả cầu có bán kính R với khối lượng m đối với trục đi qua tâm của nó là:
dI=23dmr2 (thay m bởi dm với dm=4πr2drρ với ρ là mật độ khối lượng khối).
I=∫dI=∫0R234πr4drρ=43πR3ρ25R2=25mR2.
Bài này cũng có thể tính trực tiếp bằng cách xét khối lượng nguyên tố rồi tích phân 3 lớp lên.
VD:Một chiếc xe có khối lượng m0 được kéo trên mặt phẳng ngang không ma sát bằng một lực F→ có phương nằm ngang với F=const. Có 1 dòng cát luôn chảy vào xe theo phương thẳng đứng với tốc độ μ kg/s. Ban đầu xe đứng yên. Tìm vận tốc của xe theo thời gian.
Giải:
Bài này áp dụng dạng vi phân định luật II Newton để giải:
F=dpdt, và ta có F.dt=dp=d(m.v)
Lấy tích phân 2 vế:
∫0tFdt=∫0vd(m.v)
Với các điều kiện biên:
t=0,v0=0,m=m0
m=m0+μ.t
Như vậy, ta có:
F.t=m(t).v(t)-m0v0=(m0+μt).v(v0=0)
Và ta có kết quả:
v(t)=F.tm0+μt
Và ta thấy là khi mà t→∞ thì vận tốc giới hạn của vật là vlim=Fμ không phụ thuộc gì vào khối lượng ban đầu cả.
VD: Một vật hình tròn đồng chất khối lượng m bán kính R đang quay đều trên mặt phẳng nhẵn với vận tốc góc ω. Áp nhẹ nhàng một vật giống hệt trùng khít lên vật này , hệ số ma sát giữa hai vật là k.Tìm khoảng thời gian hai vật trượt lên nhau.
Lời giải:
Trước hết ta tính moment của lực ma sát tác dụng lên các vật , ta sẽ tính cho vật nằm phía trên.
Xét phần diện tích giới hạn bởi hình tròn bán kính x và x+dx.
Diện tích của nó: dS=π(x+dx)2-x2=2πxdx
Khối lượng của nó: dm=dSSm=2mR2xdx
Moment của lực tác dụng lên phần diện tích này là
dM=dFx=dmgx=2mgR2x2dx=f(x)
Ta thấy rằng moment này có phương tiếp tuyến với vành tròn , vì vậy moment lực tác dụng lên vật bằng tổng của các moment lực nguyên tố này.
Do đó M=∫0Rf(x)dx=2mgR
Đối với vật phía trên moment này là moment dương , có tác dụng gây ra chuyển động. Vậy ta có phương trình chuyển động quay của nó là:
ω1=γt. Trong đó γ=MI là gia tốc góc.
Đối với vật 2 moment này là moment âm, cản trở chuyển động. Ta có:
ω2=ω0-γt.
Khi hai vật có vận tốc bằng nhau lưc ma sát biến mất và hai vật thôi ko trượt lên nhau nữa. Ta có :
ω1=ω2⇔γt=ω0-γt⇔t=ω02γ=ω0⋅I2M=ω0⋅R4g
Khi đó vận tốc góc của mỗi vật là : ω=ω0/2
Cách khác:
Áp dụng phương trình định luật II Newton:
mdvdt=-bv
Hay là:
dvv=-bmdt
⇒∫v0vdvv=∫0t-bmdt
⇒v=v0e-bmt
Xe dừng lại khi t→∞, do đó quãng đường xe đi qua là:
Δs=∫0∞vdt=∫0∞v0e-bmtdt=mv0b
Chúng ta cũng có thể giải bài này mà không cần đến công cụ tích phân:
mΔvΔt=-bv.......(1)
Δs=vΔt.......(2)
Từ (1),(2) ta rút ra được:
Δs=-mbΔv
Khi xe dừng lại thì Δv=0-v0=-v0
Do đó Δs=mv0b.
Cách giả này chỉ thực hiện được khi mà lực cản của môi trường tỉ lệ bậc nhất với vận tốc của xe mà thôi, còn nếu mà lực cản có dạng FC=bvα với α≠1 thì ta phải giải theo cách lấy tìm hàm của vận tốc theo thời gian.
Và nếu đề bài không cho trực tiếp giá trị b mà cho thông qua điều kiện khác (chẳng hạn sau thời gian Δt0 thì xe đi được quãng đường là Δs0) thì ta cũng không thể giải theo cách dưới này được.
VD:Bản chất của tích phân là phép chia nhỏ, lấy tổng
Mọi người thử dùng tích phân tính mấy cái lim sau nhé khi n→∞ nhé:
limn→∞(1+22+32+...+n2)/n3
limn→∞(1+2x+3x+...+nx)/nx+1 với x>0
(nhân tiện, bác nào tò mò thì thử tính tổng xác định của cái tổng ở trên với x∈ℕ , không lấy lim xem, cũng thú vị ra trò
Bài hai là tổng quát của bài một nên em chỉ giải bài 2 thôi nha
Giải:
S=1+2x+3x+....nxnx+1=1n⋅[(1n)x+(2n)x+....+(nn)x]
Ta thấy tổng S chính là tổng Rieman của hàm f(y)=yx ứng với phân hoạch trên [0,1] ;
Vậy :limn→∞S=∫01yxdy=1x+1
Xét hàm f(x)=xαnα+1.
Trên [1,+∞) thì f(x) là hàm tăng cho nên:
∫0nf(x)≤∑k=1nf(k)≤∫1n+1f(x)
Hay là ∫0nxαnα+1≤∑k=1nkαnα+1≤∫1n+1xαnα+1
1α+1≤∑k=1nkαnα+1≤1α+1[(n+1n)α+1-1nα+1]
Do limn→∞1α+1[(n+1n)α+1-1nα+1]=1α+1 nên theo nguyên lý kẹp ta có:
limn→∞∑k=1nkαnα+1=1α+1
VD:Chủ đề này vui thật đấy. Anh em đã đưa phương pháp tích phân để giải các bài toán khó, mà phương pháp bình thường không thể làm được.
Tuy nhiên bây giờ em có một bài toán sau, anh em có thể giải mà không dùng tích phân được không:
"Hãy tìm trọng tâm của một tấm đồng nhất, khối lượng phân bố đều và có dạng nửa hình tròn."
Qua bài này chúng ta sẽ thấy được rằng tích phân luôn là phương pháp số 1, dùng tích phân sẽ nhanh và gọn hơn.
Bài này em biết mỗi cách lấy tích phân: chia tấm thành nhiều vành mỏng có bán kính r , bề dày dr, có khối lượng dm=πrdrρ
trong đó ρ=mπR2
⇒dm=2mrdrR2
x=1m∫0R2mr2drR2=2R3
ngoài ra có thể sử dụng công thức Guyndanh :V=2πSd
trong đó V=23πR3
S=πR22
từ đó cũng suy ra d=23R