Por qué: se usa al preguntar o exclamar "¿?" "¡!"
Ejemplo: ¿Por qué te comiste mi torta?
Porque: Es el que normalmente se usa, es una conjugación casual.
Ejemplo: Porque en Argentina hay muchas personas (lo estás usando de respuesta).
-Ya que estudio mucho.
- Para que apruebe.
Porqué: Es por algún motivo, causa o razón.
Ejemplo: No comprendo el porqué no aprobé.
(ok aquí no se explicarme bien, busqué y esto encontré)
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Por que: Preposición "por"+ pronombre relativo "que" "por" (el) "que"
Ejemplo: La puerta por (la) que pasó es pequeña.
-El motivo por que los cité aquí es porque les quiero decir que me gustan las papas.
