il libro dei paradossi

Il paradosso del barbiere

UN CERTO villaggio ha tra i suoi abitanti un solo barbiere.  Egli è un uomo ben sbarbato che rade tutti - e unicamente - uomini del villaggio che non si radono da soli.  Questi sono i fatti.  La domanda è Chi rade il barbiere?  A prima vista sembra plausibile supporre che il barbiere si faccia la barba da solo.  Tuttavia,  se si comporta in questo modo,  viola la premessa secondo cui egli rade tutti gli uomini del villaggio che non si radono da soli.  Ma,  se non si rade,  allora il barbiere viola la premessa secondo cui egli rade tutti gli uomini che non si radono da soli.  Chi,  allora,  rade il bar biere del villaggio?  Questo paradosso fu presentato per la prima volta nel 1918 dal filosofo inglese Bertrand Russell.  il paradosso viene ridotto ai suoi termini semplici,  ci si rende conto di avere a che fare con due insiemi di uomini del villaggio:  coloro che si radono da soli e coloro che non si radono da soli e,  dunque,  si fanno radere dal barbiere.  Il problema effettivo è:  a quale gruppo appartiene il barbiere?  Di fatto,  il barbiere non appartiene ad alcuno degli insiemi,  in quanto,  come si è visto,  la sua presenza produce la conclusione contraddittoria secondo cui egli rade se stesso se e solo se non si rade.  In realtà,  come ha osservato il filosofo americano Willard Van Quine,  il paradosso può essere considerato una prova valida a sostegno del fatto che il barbiere non può esistere:  risulta un caso classico di reductio ad absurdum. Tuttavia,  la questione non è così elementare,  in quanto il paradosso presenta una struttura esattamente parallela a un altro paradosso di Russell,  quello dell'insieme di tutti gli insiemi che non contengono se stessi come propri elementi. Russell presentò questo paradosso nel 1901 ed esso ebbe un grande impatto sul pensiero matematico del XX secolo. Riferendosi al rilievo del paradosso, il matematico tedesco Gottlob Frege,fondatore della moderna logica matematica,  parlò di "tremori aritmetici". Il nocciolo del paradosso di Russell è rappresentato dalla convinzione che per ogni descrizione o proprietà specificata esista un corrispondente,  cioè,  un insieme viene costruito precisando una condizione necessaria e sufficiente per appartenere a tale insieme.  Così,  se fissiamo la condizione di essere un satellite della Terra nell'anno 100 a C.,  tutto ciò che mostra di possedere queste caratteristiche - per esempio la Luna risulterebbe elemento dell'insieme dei "satelliti della Terra nel 100 a C.". Se poi definissimo l'insieme dei "satelliti artificiali della Terra nel 100 a C.", ci troveremmo di fronte a un insieme vuoto,  un insieme cioè che non ha elementi,  ma che è pur sempre un insieme:  l'insieme vuoto,  come appunto si dice.  L'antinomia di Russell prende in considerazione l'autoappartenenza di un insieme.  Gli insiemi di oggetti non sono chia ramente membri di se stessi ad esempio,  l'insieme dei satelliti terrestri nel 1980 non è elemento di se stesso,  in quanto non ruota alla Terra.  Neppure l'insieme di tutti i libri di logica ricreativa  è membro di se stesso; infatti,  come hanno notato i logici americani James Carney e Riccardo Scheer,  non ha pagine,  non ha testo,  non ha rilegatura né prezzo. Il fatto che gli insiemi di oggetti non contengano se stessi come elementi non significa che non esistano insiemi membri di se stessi.  Si consideri,  ad esempio,  l'insieme di tutti gli insiemi che hanno più di dieci elementi.  Esso conterrebbe molti tra cui i seguenti:  l'insieme di tutti i satelliti li della Terra nel 1980,  l'insieme di tutti i libri di logica ricreativa così come l'insieme di tutti i gatti,  l'insieme di tutti i cani,  quello di tutti gli uccelli,  quello di tutti i serpenti,  quello di tutti i cammelli,  quello di tutti gli uccelli marini e di tutti gli aironi;  per non citare l'insieme di tutti i fiori,  l'insieme di tutti gli ortaggi,  l'insieme di tutti gli alberi,  l'insieme di tutte le alghe,  e così via.  Dunque,  è assolutamente chiaro che l'insieme di tutti gli insiemi contenenti più di dieci  elementi ha esso stesso più di dieci elementi ed è perciò elemento di se stesso. Dopo tutto, se l'insieme di tutti gli insiemi che hanno più di 10 elementi non fosse elemento di se stesso, non sarebbe l'insieme di tutti gli insiemi con più di 10 elementi. Torniamo ora a considerare quegli insiemi che non sono membri di se stessi: gli insiemi dei satelliti artificiali, dei libri di logica ricreativa, eccetera. La domanda diventa:" l'insieme di tutti gli insiemi che non sono elementi di se stessi è un elemento di se stesso?" Per comodità di espressione chiamiamo X l'insieme di tutti gli insiemi che non sono elementi di se stessi. Se poniamo che X sia membro di se stesso, allora, per definizione, non e' membro di se stesso, in quanto X contiene soltanto quegli insiemi che non sono elementi di se stessi. Analogamente, se poniamo che X non sia elemento di se stesso, allora, per definizione, è membro di se stesso, in quanto X contiene tutti gli insiemi che non sono elementi di se stessi. Quindi X non può né essere né non essere elemento di sé; tuttavia, chiaramente, secondo la legge del terzo escluso, deve essere una cosa o l'altra. In linguaggio ordinario questo in significa che l'insieme di tutti gli insiemi che non sono elementi di se stessi non e' membro di sé, se e solo se è elemento di se stesso. Ci troviamo alle prese con una contraddizione. Nella sua soluzione del paradosso dell'insieme di tutti gli insiemi che non sono elementi di se stessi, Russell confuso il principio di astrazione. Egli concluse che l'insieme di tutti gli insiemi che non sono elementi di se stessi non è un insieme. Come nota Quine nel suo saggio "The Ways of Paradox":
Il principio di astrazione non può essere facilmente abbandonato.  Il modo pressoché invariabile di specificare un insieme consiste nel definire una condizione necessaria e sufficiente per appartenere a esso.  Una volta definita tale condizione,  ci pare che un insieme sia dato e non si riesce a immaginare che tale insieme non esista per nulla.  Può essere vuoto,  certo;  ma come potrebbe non essere affatto un insieme?  Quale tipo di sostanza può essere richiesta per tale insieme,  sia fornita dalla condizione di appartenenza?  Tuttavia queste osservazioni non servono a nulla di fronte all'antinomia, che semplicemente dimostra la insostenibilità del principio. Èun chiaro dato logico, volta che si consideri l'antinomia, che non vi è alcun insieme,  vuoto o di altro genere, che abbia come elementi gli insiemi che non sono elementi di se stessi.  Dovrebbe avere stesso come elemento se,  e solo se, non avesse se stesso come elemento.
Russell ritenne che si debba respingere la convinzione che esiste un insieme corrispondente a ogni predicato;  cioè che per ogni asserzione di una proprietà o di una caratteristica esiste necessariamente un insieme i cui elementi possiedono quella proprietà o caratteristica.  Russell giudicò privi di significato i predicati che danno origine a conseguenze contraddittorie,  nel senso che non producono un insieme.  Secondo l'osservazione di Quine sopra citata,  il semplice tentativo di definire un insieme dà l'errata impressione che esso esista,  men-  tre,  quando si definisce un insieme,  ciò che effettivamente si fa è presupporre la possibilità della sua esistenza.  È chiaro tuttavia che la definizione di un insieme,  se vuole essere una buona definizione,  deve soddisfare le condizioni per la sua esistenza,  tra le quali è anche il principio per cui tali condizioni definitorie non dovrebbero essere autocontraddittorie.  Così come non è possibile descrivere una figura geometrica come cerchio quadrato»:  poiche le nozioni di quadrato e di cerchio sono tra loro contraddittorie,  non si può descrivere un insieme in termini di caratteristiche contraddittorie.  Russell riuscì a eliminare il paradosso sostenendo che il principio di astrazione non è valido nelle situazioni in cui la condizione di appartenenza comprende l'appartenenza stessa.  Questo,  in effetti,  elimina il paradosso e consente di usare il principio di astrazione in quegli ambiti della matematica in cui il concetto di insieme viene utilizzato in modo secondario e marginale.  In ogni caso,  fu enorme l'effetto di questa restrizione sulla teoria generale degli insiemi.  Si introdusse l'uso di indici per distinguere i differenti livelli di linguaggio e tran quillizzare i logici a proposito della restrizione riguardante l'autoappartenenza.  Come vedremo,  la soluzione offerta da Russell per il suo paradosso degli insiemi è simile,  da questo punto di vista alla soluzione proposta da Alfred Tarski per il paradosso del mentitore.  Entrambe le soluzioni,  inoltre,  ci co-  stringono a rifiutare nozioni di cui siamo profondamente e intuitivamente convinti,  una riguardante gli insiemi e l'altra riguardante la verità.  Esistono altri modi di superare la contraddizione presente nel paradosso di Russell,  uno dei quali comporta la costruzione di una teoria degli insiemi basata su una logica a più valori e non sulla logica classica a due valori,  vero o falso.  In un sistema di questo genere,  la negazione assume un significato diverso da quello tradizionale,  ed è quindi possibile per un insieme sia essere elemento di se stesso sia non essere elemento di se stesso.  Il paradosso di Russell sull'insieme di tutti gli insiemi che non sono elementi di se stessi presenta una notevole somiglianza al paradosso della eterologicità di Kurt Grelling e a quello del minimo intero di G.G.  Berry.  Tuttavia,  a differenza di questi ultimi,  il paradosso di Russell ha avuto una effettiva influenza sullo sviluppo del pensiero matematico ed è ancora oggetto di discussione.  E notevole per la sua semplicità,  in quanto implica soltanto le nozioni di insieme e di appartenenza mentre gli altri paradossi necessitano di un linguaggio complesso e ambiguo e presentano una natura essenzialmente semantica.