Phương pháp vi tích phân là một phương pháp khá hiệu quả trong việc giải các bài tập vật lý. Tuy nhiên đây cũng là một phương pháp khó nắm bắt. Chúng ta sẽ cùng nhau trao đổi thêm về phương pháp này trong topic này.
Chúng ta sẽ mở đầu bằng ví dụ đơn giản sau:
VD1 :
Tìm moment quán tính của một hình tròn đồng chất đối với trục vuông góc đi qua tâm.
Lời giải:
Xét một diện tích giới hạn bởi hình tròn bán kính x và x+dx ( với dx vô cùng bé ).
Diện tích của nó là : dS=pi.(x+dx)^2-pi.x^2=pi.2x.dx ( dx2 có thể bỏ qua ).
Khối lượng của nó là: dm=dS/S⋅m=(2.m/R2).xdx.
Moment quán tính của nó: dI=dm⋅x2=(2m/R2)x3=f(x)
Moment quán tính của hình tròn đồng chất: I=∫0Rf(x)dx=m.R^2/2
Cách 2:
Ta chia hình tròn thành các vật nhỏ, cách tâm một khoảng r(r-dr), tạo với trục x một góc θ(θ-dθ)
Từ đó, tính dm là một hàm đơn giản của θ,r
Lấy tích phân 2 lớp, cho θ chạy từ 0 đến 2π còn r chạy từ 0 đến R.
VD:
Mình ra thêm một đề đơn giản như sau cho các bạn: một vật chuyển động với vận tốc ban đầu bằng 0, gia tốc biến đổi theo quy luật: a=0,1.t (m/s2). Ở đây t là thời gian kể từ lúc bắt đầu chuyển động. Hãy xác định quãng đường mà vật đó chuyển động sau nửa phút.
Đáp số: 450m.
Giải:
a=dvdt⇒dv=adt⇒v=∫adt=kt22+C
Từ điều kiện ban đầu v(0)=0⇒v=kt22
ds=vdt⇒s=∫030kt22=kt36|030
Với k=0.1 ta có s=450m
VD2:
Tìm moment quán tính của hình cầu đồng chất khối lượng m, bán kính R đối với trục đi qua tâm.
Giải:
Xét một vỏ cầu có bán kính là r. Diện tích một đới cầu cách tâm khoảng x là dS=2πrdx. Nếu vỏ cầu có mật độ khối lượng mặt là σ thì khối lượng của đới sẽ là dm=σ⋅dS=σ2πrdx.
Moment quán tính của lớp này đối với trục đi qua tâm và vuông góc với đới cầu sẽ là dI1=(r2-x2)dm=σ2πr(r2-x2)dx.
Vậy moment quán tính của cả vỏ cầu là I1=∫dI1=∫σ⋅dS=∫-rrσ2πr(r2-x2)dx=83σπr4
Từ đây ta có moment quán tính của một vỏ cầu bán kính r, khối lượng m đối với trục đi qua tâm của nó là I=23mr2 (do m=4πσr2).
Và từ đây ta dễ dàng tính ra được moment quán tính của quả cầu có bán kính R với khối lượng m đối với trục đi qua tâm của nó là:
dI=23dmr2 (thay m bởi dm với dm=4πr2drρ với ρ là mật độ khối lượng khối).
I=∫dI=∫0R234πr4drρ=43πR3ρ25R2=25mR2.
Bài này cũng có thể tính trực tiếp bằng cách xét khối lượng nguyên tố rồi tích phân 3 lớp lên.
VD:Một chiếc xe có khối lượng m0 được kéo trên mặt phẳng ngang không ma sát bằng một lực F→ có phương nằm ngang với F=const. Có 1 dòng cát luôn chảy vào xe theo phương thẳng đứng với tốc độ μ kg/s. Ban đầu xe đứng yên. Tìm vận tốc của xe theo thời gian.
