[ Toán 12 -THPT ] - Nguyên Hàm Tích Phân Ứng Dụng

Nguyên Hàm

Nguyên hàm và tính chấtKhái niệm nguyên hàm

Kí hiệu K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng của R.R.

Định nghĩa:

Cho hàm số f(x)f(x) xác định trên K.

Hàm số F(x)F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x)f(x) trên K nếu F′(x)=f(x)F′(x)=f(x) với mọi x∈K.x∈K.

Định lý 1:

Nếu F(x)F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x)f(x) trên K thì với mỗi hằng số C, hàm số 

G(x)=F(x)+CG(x)=F(x)+C cũng là một nguyên hàm của hàm số f(x)f(x) trên K.

Định lý 2:

Nếu F(x)F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x)f(x) trên K thì mọi nguyên hàm của f(x)f(x) trên K đều có dạng F(x)+CF(x)+C với CC là một hằng số tùy ý.

Kí hiệu họ nguyên hàm của hàm số f(x)f(x) là ∫f(x)dx.∫f(x)dx.

Khi đó : ∫f(x)dx=F(x)+C,C∈R.∫f(x)dx=F(x)+C,C∈R.

Tính chất nguyên hàm

Tính chất 1: ∫f′(x)dx=f(x)+C,C∈R.∫f′(x)dx=f(x)+C,C∈R.

Tính chất 2: ∫fk(x)dx=k∫f(x)dx∫fk(x)dx=k∫f(x)dx (với k là hằng số khác 0).

Tính chất 3: ∫(f(x)±g(x))dx=∫f(x)dx±∫g(x)dx.∫(f(x)±g(x))dx=∫f(x)dx±∫g(x)dx.

Sự tồn tại của nguyên hàm

Định lí 3:

Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K.

Nguyên hàm của một số hàm số thường gặp

Nguyên hàm của các hàm số sơ cấp thương gặp:

∫kdx=kx+C,k∈R∫kdx=kx+C,k∈R

∫xαdx=11+α.xα+1+C(α≠–1)∫xαdx=11+α.xα+1+C(α≠–1)

∫dxx=ln|x|+C∫dxx=ln⁡|x|+C

∫dx√x=2√x+C∫dxx=2x+C

∫exdx=ex+C∫exdx=ex+C

∫axdx=axlna+C(0<a≠1)∫axdx=axln⁡a+C(0<a≠1)

∫cosxdx=sinx+C∫cos⁡xdx=sin⁡x+C

∫sinxdx=–cosx+C∫sin⁡xdx=–cos⁡x+C

∫dxcos2x=tanx+C∫dxcos2x=tan⁡x+C

∫dxsin2x=–cotx+C∫dxsin2x=–cot⁡x+C

Ngoài ra còn có một số công thức thường gặp khác

∫(ax+b)kdx=1a(ax+b)k+1k+1+C,(a≠0,k≠–1)∫(ax+b)kdx=1a(ax+b)k+1k+1+C,(a≠0,k≠–1)

∫1ax+bdx=1aln|ax+b|+C,a≠0∫1ax+bdx=1aln⁡|ax+b|+C,a≠0

∫eax+bdx=1aeax+b+C∫eax+bdx=1aeax+b+C

∫cos(ax+b)dx=1asin(ax+b)+C∫cos(ax+b)dx=1asin⁡(ax+b)+C

∫sin(ax+b)dx=–1acos(ax+b)+C

Nguyên hàm thường gặp

Nguyên hàm từng phần

Nguyên hàm biến đổi lượng giác

Phương pháp giải nhanhBài 1: Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x):