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Book Overviews:
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Der logisch strenge Aufbau der Mathematik ist axiomatischer Natur. Ein Axiom ist eine Aussage, die a priori unwidersprochen als 'offensichtlich richtig' akzeptiert wird. Es ist aber nicht so einfach zu entscheiden, was 'offensichtlich richtig' bedeuten soll. Betrachten wir z.B. die natürlichen Zahlen 1, 2, 3, . . . als uns wohlvertraute Objekte, mit wohldefinierten Eigenschaften. Die natürlichen Zahlen sind für uns eine intuitive Abstraktion des Begriffes des Zählens von Objekten unserer Anschauung oder unseres Denkens. Die Zahl 0 (Null) oder gar die 'Zahl' ∞ (Unendlich) bereiten allerdings schon mehr Kopfzerbrechen. Giuseppe Peano (1858-1932) hat - im Kontrast zu der intuitiven (naiven?) 'Definition' der natürlichen Zahlen - ein System von Axiomen vorgeschlagen, die sogenannten Peano- Axiome. Die Menge N der natürlichen Zahlen definiert er als abstraktes formales System mit gewissen Eigenschaften und Rechenregeln. Damit wird das Rechnen mit natürlichen Zahlen logisch streng begründet. Ein 'platonischer Standpunkt' wäre hingegen, dass es derartiger Axiome gar nicht bedarf, weil die natürlichen Zahlen und ihre Eigenschaften als naturgegeben anzusehen sind.


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