Tích phân cho vật lý

Bắt đầu từ đầu
                                                  

Giải:

Bài này áp dụng dạng vi phân định luật II Newton để giải:

F=dpdt, và ta có F.dt=dp=d(m.v)

Lấy tích phân 2 vế:

∫0tFdt=∫0vd(m.v)

Với các điều kiện biên:

t=0,v0=0,m=m0

m=m0+μ.t

Như vậy, ta có:

F.t=m(t).v(t)-m0v0=(m0+μt).v(v0=0)

Và ta có kết quả:

v(t)=F.tm0+μt

Và ta thấy là khi mà t→∞ thì vận tốc giới hạn của vật là vlim=Fμ không phụ thuộc gì vào khối lượng ban đầu cả.

VD: Một vật hình tròn đồng chất khối lượng m bán kính R đang quay đều trên mặt phẳng nhẵn với vận tốc góc ω. Áp nhẹ nhàng một vật giống hệt trùng khít lên vật này , hệ số ma sát giữa hai vật là k.Tìm khoảng thời gian hai vật trượt lên nhau.

Lời giải:

Trước hết ta tính moment của lực ma sát tác dụng lên các vật , ta sẽ tính cho vật nằm phía trên.

Xét phần diện tích giới hạn bởi hình tròn bán kính x và x+dx.

Diện tích của nó: dS=π(x+dx)2-x2=2πxdx

Khối lượng của nó: dm=dSSm=2mR2xdx

Moment của lực tác dụng lên phần diện tích này là

dM=dFx=dmgx=2mgR2x2dx=f(x)

Ta thấy rằng moment này có phương tiếp tuyến với vành tròn , vì vậy moment lực tác dụng lên vật bằng tổng của các moment lực nguyên tố này.

Do đó M=∫0Rf(x)dx=2mgR

Đối với vật phía trên moment này là moment dương , có tác dụng gây ra chuyển động. Vậy ta có phương trình chuyển động quay của nó là:

ω1=γt. Trong đó γ=MI là gia tốc góc.

Đối với vật 2 moment này là moment âm, cản trở chuyển động. Ta có:

ω2=ω0-γt.

Khi hai vật có vận tốc bằng nhau lưc ma sát biến mất và hai vật thôi ko trượt lên nhau nữa. Ta có :

ω1=ω2⇔γt=ω0-γt⇔t=ω02γ=ω0⋅I2M=ω0⋅R4g

Khi đó vận tốc góc của mỗi vật là : ω=ω0/2

Cách khác:

Áp dụng phương trình định luật II Newton:

mdvdt=-bv

Hay là:

dvv=-bmdt

⇒∫v0vdvv=∫0t-bmdt

⇒v=v0e-bmt

Xe dừng lại khi t→∞, do đó quãng đường xe đi qua là:

Δs=∫0∞vdt=∫0∞v0e-bmtdt=mv0b

Chúng ta cũng có thể giải bài này mà không cần đến công cụ tích phân:

mΔvΔt=-bv.......(1)

Δs=vΔt.......(2)

Từ (1),(2) ta rút ra được:

Δs=-mbΔv

Khi xe dừng lại thì Δv=0-v0=-v0

Do đó Δs=mv0b.

Cách giả này chỉ thực hiện được khi mà lực cản của môi trường tỉ lệ bậc nhất với vận tốc của xe mà thôi, còn nếu mà lực cản có dạng FC=bvα với α≠1 thì ta phải giải theo cách lấy tìm hàm của vận tốc theo thời gian.

Và nếu đề bài không cho trực tiếp giá trị b mà cho thông qua điều kiện khác (chẳng hạn sau thời gian Δt0 thì xe đi được quãng đường là Δs0) thì ta cũng không thể giải theo cách dưới này được.

VD:Bản chất của tích phân là phép chia nhỏ, lấy tổng

Mọi người thử dùng tích phân tính mấy cái lim sau nhé khi n→∞ nhé:

limn→∞(1+22+32+...+n2)/n3

limn→∞(1+2x+3x+...+nx)/nx+1 với x>0

(nhân tiện, bác nào tò mò thì thử tính tổng xác định của cái tổng ở trên với x∈ℕ , không lấy lim xem, cũng thú vị ra trò

Bài hai là tổng quát của bài một nên em chỉ giải bài 2 thôi nha

Giải:

S=1+2x+3x+....nxnx+1=1n⋅[(1n)x+(2n)x+....+(nn)x]

Ta thấy tổng S chính là tổng Rieman của hàm f(y)=yx ứng với phân hoạch trên [0,1] ;

Vậy :limn→∞S=∫01yxdy=1x+1

Xét hàm f(x)=xαnα+1.

Trên [1,+∞) thì f(x) là hàm tăng cho nên:

∫0nf(x)≤∑k=1nf(k)≤∫1n+1f(x)

Hay là ∫0nxαnα+1≤∑k=1nkαnα+1≤∫1n+1xαnα+1

1α+1≤∑k=1nkαnα+1≤1α+1[(n+1n)α+1-1nα+1]

Do limn→∞1α+1[(n+1n)α+1-1nα+1]=1α+1 nên theo nguyên lý kẹp ta có:

limn→∞∑k=1nkαnα+1=1α+1

VD:Chủ đề này vui thật đấy. Anh em đã đưa phương pháp tích phân để giải các bài toán khó, mà phương pháp bình thường không thể làm được.

Tuy nhiên bây giờ em có một bài toán sau, anh em có thể giải mà không dùng tích phân được không:

"Hãy tìm trọng tâm của một tấm đồng nhất, khối lượng phân bố đều và có dạng nửa hình tròn."

Qua bài này chúng ta sẽ thấy được rằng tích phân luôn là phương pháp số 1, dùng tích phân sẽ nhanh và gọn hơn.

Bài này em biết mỗi cách lấy tích phân: chia tấm thành nhiều vành mỏng có bán kính r , bề dày dr, có khối lượng dm=πrdrρ

trong đó ρ=mπR2

⇒dm=2mrdrR2

x=1m∫0R2mr2drR2=2R3

ngoài ra có thể sử dụng công thức Guyndanh :V=2πSd

trong đó V=23πR3

S=πR22

từ đó cũng suy ra d=23R

Tích phân cho vật lýNơi những câu chuyện sống. Hãy khám phá bây giờ